El siguiente problema ha sido planteado como tercer ejercicio de las oposiciones para profesor de secundaria en Madrid 2021 en la especialidad de matemáticas.

Enunciado

Un hombre acude a un banco para cobrar un cheque por valor de \(E\) euros y \(C\) céntimos. El cajero, por error, le entrega un sobre con \(C\) euros y \(E\) céntimos. El cliente no se da cuenta del error hasta que gasta 23 céntimos y, además, observa que en ese momento tiene \(2E\) euros y \(2C\) céntimos. ¿Cuál es el valor del cheque?

Resolución

Podemos plantear la ecuación del problema:

$$ 100C+E-23 = 200E+2C $$

Despejando tenemos la siguiente ecuación Diofántica

$$ -199E+98C = 23 $$

Algoritmo de Euclides

Aplicamos el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor. El máximo común divisor será el último resto distinto de cero de las sucesivas divisiones o el divisor de la división con resto cero.

$$ \begin{align*} -199 & = 98 \cdot (-3)+95 \\ 98 & = 95 \cdot (1)+3 \\ 95 & = 3 \cdot (31)+2 \\ 3 & = 2 \cdot (1)+1 \\ 2 & = 1 \cdot (2)+0 \end{align*} $$

Como el divisor de la división exacta es \(1\), tenemos que el \(mcd(-199, 98) = 1\)

Para que la ecuación diofántica tenga solución el máximo común divisor debe dividir al término independiente de la ecuación. En nuestro caso \(mcd(-199, 98) = 1\) es divisor de \(23\).

Algoritmo de Euclides extendido

El algoritmo extendido de Euclides nos permite encontrar coeficientes \(p\) y \(q\) para satisfacer la identidad de bezout.

$$ -199p+98q = mcd(-199, 98) = 1 $$
fila p q r -199p + 98q = r
F1 1 0 -199 -199 (1) + 98 (0) = -199
F2 0 1 98 -199 (0) + 98 (1) = 98
F3 1 3 95 -199 (1) + 98 (3) = 95
F4 -1 -2 3 -199 (-1) + 98 (-2) = 3
F5 32 65 2 -199 (32) + 98 (65) = 2
F6 -33 -67 1 -199 (-33) + 98 (-67) = 1


Para ello hemos usado las ecuaciones despejadas en el algoritmo de euclides. Las dos primeras entradas de la tabla son triviales y el resto se obtienen a partir de las anteriores.

$$ \begin{align} -199 + 98 \cdot (3) = 95 \rightarrow & F_3 = F_1 + 3 \cdot F_2 \\ 98 + 95 \cdot (-1) = 3 \rightarrow & F_4 = F_2 + (-1) \cdot F_3 \\ 95 + 3 \cdot (-31) = 2 \rightarrow & F_5 = F_3 + (-31) \cdot F_4 \\ 3 + 2 \cdot (-1) = 1 \rightarrow & F_6 = F_4 + (-1) \cdot F_5 \end{align} $$
$$ p=-33 \quad \text{y} \quad q=-67 $$

De manera alternativa se pueden calcular \(p\) y \(q\) partiendo de la última ecuación, despejando el resto y haciendo sustituciones sucesivas.

$$ \begin{align} & \quad 3 - 2 = 1 \\ 2= 95 - 3 \cdot (31) \rightarrow & \quad 3 - (95 -3 \cdot (31)) = 1 \\ & \quad 3 \cdot 32 - 95 = 1 \\ 3 = 98 - 95 \cdot (1)\rightarrow & \quad (98-95)\cdot(32)-95 = 1 \\ & \quad 95\cdot(-33)+98\cdot(32) = 1 \\ 95=-199-98\cdot(-3) \rightarrow & \quad (-199-98\cdot(-3))\cdot(-33)+98\cdot(32) = 1 \\ & \quad -199\cdot(-33) + 98\cdot(-67) = 1 \\ \end{align} $$

Solución de la ecuación diofántica

Como para obtener el término independiente \(23\) a partir del \(mcd(-199, 98) = 1\) hay que multiplicar por \(23\). Hacemos lo mismo con la última ecuación obtenida con el algoritmo de Euclides extendido, obteniendo una solución de las infinitas que tiene la ecuación diofántica:

$$ \begin{cases} E_0 = -759 \\ C_0 = -1541 \end{cases} $$
$$ -199 (-759) + 98 (-1541) = 23 $$

La solución general para la ecuación diofántica \(ax+by=c\), con una solución particular \((x_0, y_0)\) es la siguiente:

$$ \begin{cases} x = x_0 + \lambda \dfrac{b}{mcd(a,b)} \\ y = y_0 + \lambda \dfrac{a}{mcd(a,b)} \end{cases} \lambda \in \mathbb Z $$

En nuestro caso, esta es la solución general:

$$ \begin{cases} E = -759 + \lambda \dfrac{98}{1} \\ C = -1541 - \lambda \dfrac{-199}{1} \end{cases} \lambda \in \mathbb Z $$

Sin embargo, la solución de nuestro problema debe estar formado por números \(E\) y \(C\) naturales, donde se cumple la restricciones \(0 < C < 100\) y \(0 < E < 100\). Si elegimos \(\lambda = 8\) obtenemos nuestra solución.

$$ \begin{cases} E = -759 + 8 \cdot \dfrac{98}{1} = 25 \\ C = -1541 - 8 \cdot \dfrac{-199}{1} = 51 \end{cases} $$

El valor del cheque es de \(25\) euros y \(51\) céntimos

Comprobación del resultado

Para comprobar que hemos obtenido la respuesta correcta basta con intercambiar los centimos por los euros:

\(51\) euros y \(25\) céntimos

Restar 23 céntimos:

\(51\) euros y \(2\) céntimos

Que es justo el doble de euros y el doble de céntimos.

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Asier Cardoso Sánchez Avatar Asier Cardoso Sánchez Matemático e Ingeniero Informático
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