El siguiente problema ha sido planteado como tercer ejercicio de las oposiciones para profesor de secundaria en Madrid 2021 en la especialidad de matemáticas.

Enunciado

Un hombre acude a un banco para cobrar un cheque por valor de $E$ euros y $C$ céntimos. El cajero, por error, le entrega un sobre con $C$ euros y $E$ céntimos. El cliente no se da cuenta del error hasta que gasta 23 céntimos y, además, observa que en ese momento tiene $2E$ euros y $2C$ céntimos. ¿Cuál es el valor del cheque?

Resolución

Podemos plantear la ecuación del problema:

$$ 100C+E-23 = 200E+2C $$

Despejando tenemos la siguiente ecuación Diofántica

$$ -199E+98C = 23 $$

Algoritmo de Euclides

Aplicamos el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor. El máximo común divisor será el último resto distinto de cero de las sucesivas divisiones o el divisor de la división con resto cero.

$$ \begin{align*} -199 & = 98 \cdot (-3)+95 \\ 98 & = 95 \cdot (1)+3 \\ 95 & = 3 \cdot (31)+2 \\ 3 & = 2 \cdot (1)+1 \\ 2 & = 1 \cdot (2)+0 \end{align*} $$

Como el divisor de la división exacta es $1$, tenemos que el $mcd(-199, 98) = 1$

Para que la ecuación diofántica tenga solución el máximo común divisor debe dividir al término independiente de la ecuación. En nuestro caso $mcd(-199, 98) = 1$ es divisor de $23$.

Algoritmo de Euclides extendido

El algoritmo extendido de Euclides nos permite encontrar coeficientes $p$ y $q$ para satisfacer la identidad de bezout.

$$ -199p+98q = mcd(-199, 98) = 1 $$

fila	p	q	r	-199p + 98q = r
F1	1	0	-199	-199 (1) + 98 (0) = -199
F2	0	1	98	-199 (0) + 98 (1) = 98
F3	1	3	95	-199 (1) + 98 (3) = 95
F4	-1	-2	3	-199 (-1) + 98 (-2) = 3
F5	32	65	2	-199 (32) + 98 (65) = 2
F6	-33	-67	1	-199 (-33) + 98 (-67) = 1

Para ello hemos usado las ecuaciones despejadas en el algoritmo de euclides. Las dos primeras entradas de la tabla son triviales y el resto se obtienen a partir de las anteriores.

$$ \begin{align} -199 + 98 \cdot (3) = 95 \rightarrow & F_3 = F_1 + 3 \cdot F_2 \\ 98 + 95 \cdot (-1) = 3 \rightarrow & F_4 = F_2 + (-1) \cdot F_3 \\ 95 + 3 \cdot (-31) = 2 \rightarrow & F_5 = F_3 + (-31) \cdot F_4 \\ 3 + 2 \cdot (-1) = 1 \rightarrow & F_6 = F_4 + (-1) \cdot F_5 \end{align} $$

$$ p=-33 \quad \text{y} \quad q=-67 $$

De manera alternativa se pueden calcular $p$ y $q$ partiendo de la última ecuación, despejando el resto y haciendo sustituciones sucesivas.

$$ \begin{align} & \quad 3 - 2 = 1 \\ 2= 95 - 3 \cdot (31) \rightarrow & \quad 3 - (95 -3 \cdot (31)) = 1 \\ & \quad 3 \cdot 32 - 95 = 1 \\ 3 = 98 - 95 \cdot (1)\rightarrow & \quad (98-95)\cdot(32)-95 = 1 \\ & \quad 95\cdot(-33)+98\cdot(32) = 1 \\ 95=-199-98\cdot(-3) \rightarrow & \quad (-199-98\cdot(-3))\cdot(-33)+98\cdot(32) = 1 \\ & \quad -199\cdot(-33) + 98\cdot(-67) = 1 \\ \end{align} $$

Solución de la ecuación diofántica

Como para obtener el término independiente $23$ a partir del $mcd(-199, 98) = 1$ hay que multiplicar por $23$. Hacemos lo mismo con la última ecuación obtenida con el algoritmo de Euclides extendido, obteniendo una solución de las infinitas que tiene la ecuación diofántica:

$$ \begin{cases} E_0 = -759 \\ C_0 = -1541 \end{cases} $$

$$ -199 (-759) + 98 (-1541) = 23 $$

La solución general para la ecuación diofántica $ax+by=c$, con una solución particular $(x_0, y_0)$ es la siguiente:

$$ \begin{cases} x = x_0 + \lambda \dfrac{b}{mcd(a,b)} \\ y = y_0 - \lambda \dfrac{a}{mcd(a,b)} \end{cases} \lambda \in \mathbb Z $$

En nuestro caso, esta es la solución general:

$$ \begin{cases} E = -759 + \lambda \dfrac{98}{1} \\ C = -1541 - \lambda \dfrac{-199}{1} \end{cases} \lambda \in \mathbb Z $$

Sin embargo, la solución de nuestro problema debe estar formado por números $E$ y $C$ naturales, donde se cumple la restricciones $0 < C < 100$ y $0 < E < 100$. Si elegimos $\lambda = 8$ obtenemos nuestra solución.

$$ \begin{cases} E = -759 + 8 \cdot \dfrac{98}{1} = 25 \\ C = -1541 - 8 \cdot \dfrac{-199}{1} = 51 \end{cases} $$

El valor del cheque es de $25$ euros y $51$ céntimos

Comprobación del resultado

Para comprobar que hemos obtenido la respuesta correcta basta con intercambiar los centimos por los euros:

$51$ euros y $25$ céntimos

Restar 23 céntimos:

$51$ euros y $2$ céntimos

Que es justo el doble de euros y el doble de céntimos.

Asier Cardoso Sánchez Matemático e Ingeniero Informático

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